Old School Gamers

Решение системы уравнений по теории Крамера

Теория Крамера – это метод решения системы линейных уравнений с помощью нахождения определителей. Она основана на свойствах матриц и позволяет найти уникальное решение системы, если оно существует.

Описание метода

Предположим, что у нас есть система линейных уравнений следующего вида:

$$ \begin{align*} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n &= b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n &= b_2 \ \ldots \ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n &= b_n \ \end{align*} $$

где $a_{ij}$ - коэффициенты при неизвестных $x_i$, $b_i$ - правые части уравнений.

Рассмотрим определитель матрицы коэффициентов $D$. Затем заменим первый столбец этой матрицы на столбец свободных членов $b_1, b_2, \ldots, b_n$ и найдем определитель такой матрицы $D_1$. Повторим эту операцию для всех столбцов матрицы коэффициентов, получив определители $D_2, \ldots, D_n$.

Теперь можно найти значения неизвестных, поделив каждый полученный определитель на определитель матрицы коэффициентов:

$$ x_1 = \frac{D_1}{D}, \quad x_2 = \frac{D_2}{D}, \quad \ldots, \quad x_n = \frac{D_n}{D} $$

Пример

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{align*} 3x + 2y &= 7 \ 4x - 5y &= 2 \ \end{align*} $$

Составим матрицу коэффициентов:

$$ \begin{bmatrix} 3 & 2 \ 4 & -5 \ \end{bmatrix} $$

Рассчитаем определитель матрицы коэффициентов $D$:

$$ D = 3 \cdot (-5) - 2 \cdot 4 = -23 $$

Заменим первый столбец матрицы коэффициентов на столбец свободных членов:

$$ \begin{bmatrix} 7 & 2 \ 2 & -5 \ \end{bmatrix} $$

Рассчитаем определитель этой матрицы $D_1$:

$$ D_1 = 7 \cdot (-5) - 2 \cdot 2 = -39 $$

По аналогии, найдем определитель $D_2$ для второго столбца:

$$ D_2 = 3 \cdot 2 - 4 \cdot 7 = -20 $$

Итак, решение системы имеет вид:

$$ x = \frac{D_1}{D} = \frac{-39}{-23} \approx 1.696 $$

$$ y = \frac{D_2}{D} = \frac{-20}{-23} \approx 0.870 $$

Заключение

Теория Крамера является одним из методов решения систем линейных уравнений. Она основана на использовании определителей матриц и позволяет найти решение, если оно существует. Однако этот метод неэффективен для больших систем и может быть применен только к квадратным матрицам.